MATHMOD FOR MACBOOK PLUS

It is proved that the discrete divergence operator allows one to recover a discrete inf-sup condition.

We introduce operators discretizing the gradient, the divergence, and the convection term. We develop face-based Compatible Discrete Operator (CDO-Fb) schemes for the unsteady, incompressible Stokes and Navier–Stokes equations. Des résultats numériques utilisant des schémas temporels du premier ordre d'abord, puis du deuxième ordre, montrent que la méthode AC constitue une alternative précise et efficace à l'approche monolithique traditionnelle

Trois stratégies classiques pour le traitement du terme non linéaire dû à la convection sont examinées: l'algorithme de Picard, la linéarisation et l'explicitation.

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En particulier, nous étudions l'approche monolithique traditionnelle qui consiste à résoudre directement le système de point-selle, et la méthode de Compressibilité Artificielle (AC), qui permet de ne plus avoir un système de point-selle à résoudre au prix d'une relaxation du bilan de masse. Dans un deuxième temps, l'attention est placée sur les techniques de marche en temps. Le schéma de discrétisation est d'abord testé dans le cas stationnaire sur des maillages généraux mais aussi déformés, afin d'illustrer la flexibilité et la robustesse de la discrétisation CDO-Fb. On montre que l'opérateur de divergence discret permet de satisfaire une condition inf-sup, tandis que l'opérateur de convection discret est dissipatif, propriété cruciale pour le bilan d'énergie. Des opérateurs pour la reconstruction du gradient, de la divergence et un autre pour le terme de convection sont proposés. Nous développons des schémas dits face-based Compatible Discrete Operator (CDO-Fb) pour les équations de Stokes et Navier–Stokes incompressibles en régime instationnaire.